Função Logarítmica

Função Logarítmica

            A Escala Richter mede a magnitude de um terremoto. Os terremotos originam-se do movimento das placas tectônicas. O atrito de uma placa contra outra forma ondas mecânicas. Estas ondas são responsáveis pelas vibrações que causam o terremoto. O sismógrafo mede a amplitude e a freqüência dessas vibrações, utilizando uma equação logarítmica, pode calcular a magnitude do terremoto.

            A amplitude está associada a altura (tamanho) da onda e freqüência com a quantidade de ondas num determinado intervalo de tempo. Podemos observar estes dados no gráfico de distância d em metros em função do tempo t em segundos.

  Durante o terremoto, o sismógrafo registra a magnitude de um terremoto durante um pequeno intervalo de tempo:

 A magnitude do terremoto pode ser calculada pela equação logarítmica:

M_s= log₁₀ (A . f) + 3.30

 

log_10:Magnitude do terremoto; A . f:Amplitude do movimento da onda; 3.30:freqüência da onda

     na escala Richter                    registrada no sismógrafo (em µm)                   (em hertz)

à Suponhamos que um terremoto teve como amplitude 1000 micrometros e a freqüência a 0,1Hz. Qual a magnitude deste terremoto?

            M_s= log₁₀ (A . f) + 3,30

            M_s= log₁₀ (1000 . 0,1) + 3,30

            M_s= log₁₀ 100 + 3,30

               M_s= log₁₀ 100 + 3,30

          

             

            M_s= 2 + 3,30

            M_s= 5,3 na escala Richter.

            Para ser calculado a intensidade de um terremoto, foi necessário a utilização da função logarítmica. Alexander Graham Bell, inventor do telefone, usou a função logarítmica para calcular o nível sonoro, o qual chamamos de decibel. Porém, calcule o nível sonoro permitido pela BPTran aos sons dos carros, sabendo que a intensidade é de 10^-10W/cm² e o limiar da percepção é igual a 10^-16W/cm².

            Solução:

             β= 10.log I     à        Β= 10.log10^-10               à     β= 10.log(10^-10+16)   à          

                             Io                               10^-16

 

                          = 10.log10⁶    à      β= 10.6.log10    à     β= 60dB.

 

                                                                

                                                            

A FUNÇÃO LOGARITMICA:

Considere a função exponencial, y= a^x,  onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, a^x é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R₊^* , poderemos escrever a função exponencial como segue:
                                             f: R -> R₊^* ; y = a^x , 0 < a ¹ 1

Esta função é bijetora, pois:
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.

uma função inversa de G é aquela que faz o processo contrário de G 

à Processo algébrico para cálculo da função inversa:

Exemplo: Achar a expressão que representa a inversa da função y = x +2

1º Passo  Trocamos x por y:               x = y + 2

2º Passo Isolamos y:                          y = x - 2

Resposta: y = x - 2 é a expressão que representa a inversa da função y = x + 2

à Vamos determinar a função inversa da função y= a^x, onde 0< a¹ 1:

            Trocando x por y temos: log_ax.

            Pode-se observar que o inverso da função exponencial é  a função logarítmica. Portanto, logaritmo é o expoente a que se deve elevar um número constante para se obter outro número.

Definição de Logaritmo

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação b^x= N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: log_bN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:
a) log₂8 = 3 porque 2³ = 8.
b) log₄1 = 0 porque 4⁰ = 1.
c) log₃9 = 2 porque 3² = 9.
d) log₅5 = 1 porque 5¹ = 5.

 Exemplo: Se a curva da figura representa o gráfico da função y= logx, com x>0, o valor da área hachura é:

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log₁₀N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10^x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, log_eM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:
a) log100 = 2 porque 10² = 100.
b) log1000 = 3 porque 10³ = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 10^0,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 10^0,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e¹ = e = 2,7183...
f) ln 7 = log_e7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, onde 1 é a característica e 0,3010 a mantissa. As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que  10^1,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log₃(-9) , log₂0 , etc.

4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
                                                    log_b1 = 0 porque b⁰ = 1

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja:

                                        log_bb = 1 , porque b¹ = b.

P3) log_bb^k = k , porque b^k = b^k .

P4) Se log_bM = log_bN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

P5) b^logbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
log_b(M.N) = log_bM + log_bN

Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

Função Exponencial                                    Função Logarítmica

       a^{m .} aⁿ = a^m+n                                           log_a(A.B) = log_aA + log_aB

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
log_b(M/N) = log_bM - log_bN

Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10^-1,6990 = 0,02.

Da mesma forma podemos exemplificar: log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

Função Exponencial                                    Função Logarítmica

       a^m   = a^{m - n}                                              log_a(A/B) = log_aA - log_aB

                   aⁿ

Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).

Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
colog_bN = log_b(1/N) = log_b1 - log_bN = 0 - log_bN = - log_bN.
(menos log de N na base b).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: log_bM^k = k.log_bM.
Exemplo: log₅25⁶ = 6.log₅25 = 6.2 = 12.

Função Exponencial                                    Função Logarítmica

       (a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ                                      log_aAⁿ = n. log_aA

P4 - MUDANÇA DE BASE

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos:
a) log₄16 = log₂16 / log₂4 (2 = 4:2)
b) log₈64 = log₂64 / log₂8 (2 = 6:3)
c) log₂₅125 = log₅125 / log₅25 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 25^1,5 = 125.

Notas:
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.

2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) log_bN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) log_ba . log_ab = 1

Exemplos:
a) log₃7 . log₇3 = 1
b) log₂3 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

Gráficos da função logarítmica

            Para se obter o gráfico de funções logarítmicas, atribuem-se valores à variável independente x.

            Exemplo1:

Dada a função logarítmica: y= f(x) = log₂x, construa o gráfico desta função.

 

x	Y= log2x
⅛
¼
½
1
2
4
8

             
 Exemplo 2:

                        Dada a função logarítmica: y= f(x)= log_1/2x, construa o gráfico desta função.

 

           

x	Y= log1/2x
⅛
¼
½
1
2
4
8

           

O que você pode observar nos dois gráficos anteriores? Existe alguma relação importante? Então você percebeu que a função logarítmica y= f(x)= log_ax, pode ser crescente ou decrescente. Mas, qual informação nos mostra a característica do gráfico?

            Conseguimos obter essas informações analisando a base da função logarítmica:  log_ax, a base desta função está representada pela letra a.

            Logo, quando a base for maior do que um (a>1) será uma função crescente, e quando a base for maior do que zero e menor do que um (0<a>1) será uma função decrescente.

 Assim, podemos analisar os gráficos das funções exponencial (y= a^x) e logaritmica (y= log_ax), para os casos a>1  e  0< a¹. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrante, ou seja, simétricos em relação a reta y= x.

Da simples observação dos gráficos anteriores, podemos concluir que:

1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.
2 - para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = log_ax é o conjunto R₊^* .
4 - o conjunto imagem da função y = log_ax é o conjunto R dos números reais.
5 - o domínio da função y = a^x é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = a^x é o conjunto R₊^* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

Alguns exemplos de funções crescentes e decrescentes

1) y = log₂x ,   y = log₄x ,  y = log₈x ,  y = log₁₀x

Para y = log2x	X	1	2	4	8
	Y	0	1	2	3
Para y = log4x	X	1	4	16	64
	Y	0	1	2	3
Para y = log8x	X	1	8	64	512
	Y	0	1	2	3
Para y = log10x	X	1	10	100	1000
	Y	0	1	2	3

2) y = log_(1/2)x , y = log_(1/4)x , y = log_(1/8)x , y = log_(1/10)x

Para y = log(1/2)x	X	1	½	1/4	1/8
	Y	0	1	2	3
Para y = log(1/4)x	X	1	¼	1/16	1/64
	Y	0	1	2	3
Para y = log(1/8)x	X	1	1/8	1/64	1/512
	Y	0	1	2	3
Para y = log(1/10)x	X	1	1/10	1/100	1/1000
	Y	0	1	2	3

Podemos perceber nos gráficos acima que a função logaritmo sempre passa pelo ponto (1,0)

Podemos concluir então que :

àA função log_ax é crescente quando a>1 (veja o gráfico)

àA função log_ax é decrescente quando 0<A<1  (veja o gráfico)

 Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos:

1) Sendo log_ba = 4 e log_bc = 1 encontre o valor de 

     a) log_b(ac)

         Solução:

usando as propriedades de logaritmos, temos

log_b(ac) = log_ba + log_bc

log_b(ac) = 4 + 1 

log_b(ac) = 5

      b) log_b(a/c)

           Solução: 

usando as propriedades de logaritmos, temos:

log_b(a/c) = log_ba - log_bc

log_b(a/c) = 4 - 1

log_b(ac) = 3